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Spatio-temporal feedback control of partial differential equations
Schneider, Isabelle Anne Nicole

Main titleSpatio-temporal feedback control of partial differential equations
Title variationsRäumlich-zeitliche Rückkopplungskontrolle von partiellen Differentialgleichungen
Author(s)Schneider, Isabelle Anne Nicole
Place of birth: Heidelberg, Deutschland
1. RefereeProf. Dr. Bernold Fiedler
Further Referee(s)Prof. Dr. Sjoerd M. Verduyn Lunel
Keywordspartial differential equations; feedback control; reaction-diffusion equations; Pyragas control; time delay; noninvasive control
Classification (DDC)515 Analysis
SummaryNichtinvasive zeitverzögerte Rückkopplungskontrolle („Pyragas-Kontrolle“) wurde während der letzten 20 Jahre intensiv theoretisch, numerisch und experimentell untersucht. Ihr Erfolg wurde für zahlreiche dynamische Systeme, die durch gewöhnliche Differentialgleichungen gegeben sind, bewiesen oder experimentell überprüft.
In dieser Arbeit führen wir neue nichtinvasive räumlich-zeitliche Kontrollterme für partielle Differentialgleichungen ein, mit dem Ziel, instabile Gleichgewichte und periodische Orbits zu stabilisieren. Wir konstruieren diese erfolgreichen Kontrollterme indem wir das Konzept der Kontroll-Tripel einführen. Das Kontroll-Tripel definiert, wie wir das Ausgangssignal, den Raum und die Zeit im Kontrollterm transformieren. Dieser Ansatz existiert bis jetzt nicht in der Literatur und er ist insbesondere für die Kontrolle von partiellen Differentialgleichungen konzipiert. Somit nutzen die neuen Kontrollterme auch die räumlich-zeitlichen Muster der Gleichgewichte und periodischen Orbits.
Wir untersuchen die neue Kontroll-Tripel-Methode für skalare Reaktions-Diffusions-Gleichungen. Für diese Gleichungen stellen wir zwei Kontrolltermtypen vor: Die Kontrollschemata vom Rotationstyp kombinieren Rotationen im Raum, die wir als räumliche Verzögerung interpretieren, mit einer Zeitverzögerung und einem Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal. Dagegen kombinieren die Kontrollschemata vom Reflektionstyp Reflektionen im Raum, eine Zeitverzögerung und einen Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal.
Bei den Kontrollschemata vom Rotationstyp stellt sich heraus, dass räumliche Verzögerungen, die die Hälfte der räumlichen Periode betragen, erfolgreich sind, wenn sie mit einer kleinen Zeitverzögerung und einem Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal kombiniert werden. Dagegen scheitern diejenigen Kontrollterme, die eine volle räumliche Periode nutzen, und somit auch keinen Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal haben, für beliebige Zeitverzögerungen.
Mit den Kontrollschemata vom Reflektionstyp können wir diejenigen Orbits mit einer ungeraden Reflektionssymmetrie stabilisieren, aber nicht diejenigen mit einer geraden Symmetrie. Auch hier entscheidet der Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal, ob die Kontrolle erfolgreich ist oder nicht.
Für den Beweis der Stabilisierung nutzen wir eine erweiterte Version von Hills Gleichung mit räumlich-zeitlicher Verzögerung. Wir kombinieren Hills Gleichung mit Symmetrieeigenschaften, um die Ergebnisse zu erhalten.
Unsere Ergebnisse präsentieren wir auch im Rahmen einer detaillierten Fallstudie für eine bestimmte Reaktions-Diffusions-Gleichung, und zwar für die Chafee-Infante-Gleichung. Außerdem diskutieren wir mögliche Erweiterungen sowie Einschränkungen unserer neuen Kontrollterme.
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PDF-Datei von FUDISS_thesis_000000103581
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Number of pages174 Seiten
FU DepartmentDepartment of Mathematics and Computer Science
Year of publication2016
Document typeDoctoral thesis
Media type/FormatText
LanguageEnglish
Terms of use/Rights Nutzungsbedingungen
Date of defense2016-10-27
Created at2016-11-24 : 03:20:32
Last changed2016-12-14 : 01:55:29
 
Static URLhttp://www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS_thesis_000000103581
NBNurn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000103581-9
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