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On associahedra and related topics
Ceballos, Cesar

Main titleOn associahedra and related topics
Title variationsÜber Assoziaedern und verwandte Themen
Author(s)Ceballos, Cesar
Place of birth: Cali, Colombia
1. RefereeGünter M. Ziegler
Further Referee(s)Francisco Santos
KeywordsAssociahedron; subword complex; cluster complex; multi-triangulation; multi-associahedron; generalized associahedra
Classification (DDC)510 Mathematics
SummaryDiese Arbeit präsentiert mehrere Entwicklungen im Zusammenhang mit Assoziaeder. Alle Resultate entstanden aus zwei spezifischen Fragestellungen. Die Erste, welche in dieser Arbeit vollständig gelöst wurde, befasst sich mit einigen polytopalen Realisierungen von Assoziaedern (Chapter 1), während es in der Zweiten um die Existenz polytonaler Realisierungen von Multiassoziaedern geht. Obwohl die zweite Fragestellung in dieser Arbeit nicht gelöst wurde, diente sie als Ausgangspunkt für sehr interessante Ergebnisse, welche Subwordkomplexe aus der Gröbner-Geometrie mit Clusterkomplexen aus der Clusteralgebra verbinden (Chapter 2). Diese Ergebnisse liefern einen neuen Ansatz und eine neue Perspektive für Fragestellungen, die mit Multiassoziaedern und - in einem allgemeineren Kontext - mit verallgemeinerten Multiassoziaedern zusammenhängen.
Zum Beispiel nutzen wir diesen Ansatz als ein Hilfsmittel, um polytopale Realisierungen für kleine, explizite Beispiele zu erzeugen (Chapter 3).

Diese Arbeit gliedert sich in drei Teile. Der erste Teil konzentriert sich auf geometrische Realisierungen von Assoziaedern und entstand in Zusammenarbeit mit Francisco Santos und Günter M. Ziegler [15]. Wir zeigen, dass drei systematische Konstruktionsmethoden des n-dimensionale Assoziaeders (als Sekunddärpolytop eines konvexen (n+3)-gons von Gelfand, Kapranov und Zelevinsky, durch Clusterkomplexe des Wurzelsystems A_n bei Chapoton, Fomin und Zelevinsky, und als Minkowskisumme von Simplizes bei Postnikov) grundlegend verschiedene Realisierungen für jede Wahl der Parameter der Konstruktionen erzeugen. Die Clusterkomplex- und Minkowski-Realisierung wurden von Hohlweg und Lange
verallgemeinert, um exponentiell viele verschiedene Realisierungen zu erzeugen, deren Normalenvektoren in $\{0,\pm1\}^n$ liegen. Wir stellen eine andere, sogar größere, exponentielle Familie vor, die die Clusterkomplexkonstruktion verallgemeinert - und weisen nach, dass diese Familie selbst schnittfremd mit den vorangegangenen ist, mit einer Außnahme: Das Chapoton-Fomin-Zelevinsky-Assoziaeder liegt in beiden exponentiellen Familien.

Der zweite Teil entstand in Zusammenarbeit mit Jean-Philippe Labbé
und Christian Stump [14]. Für jede endliche Coxeter-Gruppe und jede nichtnegative ganze Zahl k führen wir einen sphärischen Subwordkomplex ein, den wir Multiclusterkomplex nennen. Dieser Subwordkomplex entspricht dem Clusterkomplex des gegebenen Types für k=1 und erweitert den Begriff des Multiassoziaeders vom Typ A und B zu beliebigen endlichen Coxeter-Gruppen. Wir untersuchen kombinatorische und geometrische Eigenschaften der Multiclusterkomplexe. Insbesondere zeigen wir, dass jeder sphärische Teilwortkomplex der Link einer Seite eines Multiclusterkomplexes ist und beschreiben eine natürliche zyklische Verknüpfung, die einen Zusammenhang zwischen ulticlusterkomplexen, ``Auslander-Reiten quivers" und ``repetition quivers" herstellt.

Der dritte Teil zeigt eine neue Sichtweise auf die Frage nach der Polytopalität von Multiassoziaedern und sphärischen Subwordkomplexen und präsentiert zwei algorithmische Methoden, um Realisierungen von kleinen expliziten Beispielen zu finden. In Zusammenarbeit mit Jean-Philippe Labbé wurden diese Methoden unter Verwendung des Computer-Algebra-Systems Sage [80] implementiert.
Documents
PDF-Datei von FUDISS_thesis_000000039026
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Number of pagesXI, 87 S.
FU DepartmentDepartment of Mathematics and Computer Science
Year of publication2012
Document typeDoctoral thesis
Media type/FormatText
LanguageEnglish
Terms of use/Rights Nutzungsbedingungen
Date of defense2012-08-13
Created at2012-09-07 : 11:17:22
Last changed2012-09-12 : 12:39:54
 
Static URLhttp://www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS_thesis_000000039026
NBNurn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000039026-8
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