Objekt-Metadaten

Equivariant topology methods in discrete geometry
Matschke, Benjamin

Main titleEquivariant topology methods in discrete geometry
Title variationsMethoden der äquivarianten Topologie in der diskreten Geometrie
Author(s)Matschke, Benjamin
Place of birth: Cottbus
1. RefereeGünter M. Ziegler
Further Referee(s)Imre Bárány
Pavle V. M. Blagojević
KeywordsEquivariant topology; discrete geometry; colored Tverberg problem; square peg problem; polytopes
Classification (DDC)514 Topology
516 Geometry
SummaryDas erste Kapitel behandelt das farbige Tverbergproblem und ist in Zusammenarbeit mit Pavle Blagojević und Günter Ziegler [BMZ09], [BMZ11a], [BMZ11b] entstanden. Zuerst zeigen wir eine neue und optimale farbige Version des Tverbergsatzes, welches die Bárány-Larman-Vermutung für Primzahlen minus Eins und im Allgemeinen asymptotisch impliziert. Das wiederum verbessert die Schranken im Second-Selection-Lemma, was z.B. in der algorithmischen Komplexitätstheorie benutzt wird um die Anzahl der halbierenden Mengen in einer n-Menge im R^d nach oben abzuschätzen. Anschließend verallgemeinern wir unseren Satz zu einer transversalen Variante, einer farbigen Version der Tverberg-Vrećica-Vermutung, welche zudem das Ham-Sandwich-Theorem impliziert und allgemeiner das Center-Transversal-Theorem. Im dritten Abschnitt verallgemeinern wir unseren Satz für Abbildungen in beliebige Mannigfaltigkeiten. Zwei methodische Resultate sind ein neuer parametrisierter Borsuk-Ulam-Satz für äquivariante Vektorbündel und die Berechnung des Fadell-Husseini-Indexes von Joins von Schachbrettkomplexen.

Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit in Kurven einbeschriebenen Quadraten und Rechtecken. Die Ergebnisse sind disjunkt von denen in [Mat08, Chap. III], und sie werden in [Mat09] und [Mat11] erscheinen. Wir zeigen für zwei neue Klassen von Jordankurven, dass sie die Toeplitz-Vermutung erfüllen, d.h. jede dieser Kurven enthält die vier Punkte eines Quadrats. Die erste Klasse enthält strikt alle bisher bekannten Klassen, und die andere ist die erste bekannte offene Menge solcher Kurven. Dann widerlegen wir eine Vermutung von Cantarella über die Parität der Anzahl von in immersierten planaren Kurven einbeschriebenen Quadraten, und geben die richtige Anzahl an, auch für einbeschriebene Rechtecke. Im zweiten Abschnitt geben wir eine Klasse von Jordankurven an, die Rechtecke des Seitenverhältnisses sqrt(3) einschreiben, welches das erste bekannte Teilergebnis für Seitenverhältnisse ungleich 1 ist.

Der Anhang fasst zwei Artikel über Polytope zusammen. Das erste ist eine Zusammenarbeit mit Francisco Santos und Christophe Weibel [MSW11] über breite 5-Spindeln, von welchen neue Gegenbeispiele zur Hirschvermutung konstruiert werden können. Das zweite ist eine Zusammenarbeit mit Julian Pfeifle und Vincent Pilaud [MPP11] über produktsimpliziale nachbarschaftliche Polytope, in der wir unter anderem Polytope konstruieren, die zwischen nachbarschaftlichen und kubisch nachbarschaftlichen Polytopen interpolieren.
ContentPreface . . . vii

Notations . . . ix

1 The colored Tverberg problem . . . 1
1 A new colored Tverberg theorem . . . 1
1.1 Introduction . . . 1
1.2 The main result . . . 3
1.3 Applications . . . 3
1.4 The configuration space/test map scheme . . . 5
1.5 First proof of the main theorem . . . 6
1.6 Problems . . . 8
2 A transversal generalization . . . 9
2.1 Introduction . . . 9
2.2 Second proof of the main theorem . . . 11
2.3 The transversal configuration space/test map scheme . . . 14
2.4 A new Borsuk-Ulam type theorem . . . 16
2.5 Proof of the transversal main theorem . . . 21
3 Colored Tverberg on manifolds . . . 23
3.1 Introduction . . . 23
3.2 Proof . . . 24
3.3 Remarks . . . 25

2 On the square peg problem and some relatives . . . 29
1 Introduction . . . 29
2 Squares on curves . . . 30
2.1 Some short historic remarks . . . 30
2.2 Notations and the parameter space of polygons on curves . . . 31
2.3 Shnirel'man's proof for the smooth square peg problem . . . 32
2.4 A weaker smoothness criterion . . . 33
2.5 Squares on curves in an annulus . . . 38
2.6 Squares and rectangles on immersed curves . . . 39
3 Rectangles on curves . . . 41
3.1 Some intuition . . . 41
3.2 Inscribed rectangles with aspect ratio sqrt(3) . . . 43
4 Crosspolytopes on spheres . . . 47

A Two classes of interesting polytopes . . . 51
A1 5-spindles and their width . . . 51
A2 Product-simplicial neighborly polytopes . . . 52
B Summaries . . . 53
B1 English summary . . . 53
B2 Deutsche Zusammenfassung . . . 53

Bibliography . . . 55
Documents
PDF-Datei
If your browser can't open the file, please download the file first and then open it
 
Number of pagesX, 60 S.
FU DepartmentDepartment of Mathematics and Computer Science
Year of publication2011
Document typeDoctoral thesis
Media type/FormatText
LanguageEnglish
Terms of use/Rights Nutzungsbedingungen
Date of defense2011-08-02
Created at2011-08-24 : 11:41:19
Last changed2011-08-25 : 02:01:42
 
Static URLhttp://www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS_thesis_000000024793
NBNurn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000024793-7
Statistics
E-mail addressmatschke@math.fu-berlin.de